Сначала умножаем потом плюсуем

Правила умножения и деления

После того, как выучена таблица умножения, школьникам объясняют правила умножения и деления, учат использовать их при вычислении математических выражений.

интернет проект BeginnerSchool.ru

Сегодня мы поговорим о порядке выполнения математических действий. Какие действия выполнять первыми? Сложение и вычитание, или умножение и деление. Странно, но у наших детей возникают проблемы с решением, казалось бы, элементарных выражений.

Долой калькулятор: 12 простых трюков, которые помогут вам быстро считать

Как бы мы ни хотели это признавать, учителя были правы: математика нужна каждому из нас. Но далеко не всем дается ловкое жонглирование числами. Тогда на помощь приходят легко запоминающиеся математические приемы – настоящее спасение, когда под рукой, как назло, нет калькулятора.

Ниже вы найдете 12 способов быстрых вычислений для всех, кто далек от точных наук.

Что сначала – сложение или умножение: правила, порядок выполнения действия и рекомендации

С самого начала следует напомнить, чтобы потом не путаться: есть цифры – их 10. От 0 до 9. Есть числа, и они состоят их цифр. Чисел бесконечно много. Точно больше, чем звезд на небе.

Математическое выражение − это записанное с помощью математических символов наставление, какие действия нужно произвести с числами, чтобы получить результат. Не «выйти» на искомый результат, как в статистике, а узнать, сколько их точно было. А вот чего и когда было − уже не входит в сферу интересов арифметики. При этом важно не ошибиться в последовательности действий, что сначала – сложение или умножение? Выражение в школе иногда называют «пример».

Вам будет интересно: Консилиум – это не приговор

Определение умножения

Умножение целых чисел есть такое действие, в котором нужно взять одно число слагаемым столько раз, сколько в другом содержится единиц, и найти сумму этих слагаемых.

Умножить 7 на 3 значит взять число 7 слагаемым три раза и найти сумму. Искомая сумма есть 21.

Умножение есть сложение равных слагаемых.

Данные в умножении называются множимым и множителем, а искомое — произведением.

В предложенном примере данными будут множимое 7, множитель 3, а искомым произведением 21.

Множимое. Множимое есть то число, которое умножается или повторяется слагаемым. Множимое выражает величину равных слагаемых.

Множитель. Множитель показывает, сколько раз множимое повторяется слагаемым. Множитель показывает число равных слагаемых.

Произведение. Произведение есть число, которое получается от умножения. Оно есть сумма равных слагаемых.

Множимое и множитель вместе называются производителями.

При умножении целых чисел одно число увеличивается во столько раз, сколько в другом содержится единиц.

Знак умножения. Действие умножения обозначают знаком × (косвенным крестом) или . (точкой). Знак умножения ставится между множимым и множителем.

Повторить число 7 три раза слагаемым и найти сумму значит 7 умножить на 3. Вместо того, чтобы писать

пишут при помощи знака умножения короче:

7 × 3 или 7 · 3

Умножение есть сокращенное сложение равных слагаемых.

Знак (×) был введен Отредом (1631 г.), а знак . Христианом Вольфом (1752 г.).

Связь между данными и искомым числом выражается в умножении

7 × 3 = 21 или 7 · 3 = 21

семь, умноженное на три, составляет 21.

Чтобы составить произведение 21, нужно 7 повторить три раза

Чтобы составить множитель 3, нужно единицу повторить три раза

Отсюда имеем другое определение умножения: Умножение есть такое действие, в котором произведение точно так же составляется из множимого, как множитель составлен из единицы.

Основные операции в математике

Основные операции, которые используют в математике — это сложение, вычитание, умножение и деление. Помимо этих операций есть ещё операции отношения, такие как равно (=), больше (>), меньше (<), больше или равно (≥), меньше или равно (≤), не равно (≠).

Операции действия:

• сложение (+)
• вычитание (-)
• умножение (*)
• деление (:)

Операции отношения:

• равно (=)
• больше (>)
• меньше (<)
• больше или равно (≥)
• меньше или равно (≤)
• не равно (≠)

Сложение — операция, которая позволяет объединить два слагаемых.

• Запись сложения: 5 + 1 = 6, где 5 и 1 — слагаемые, 6 — сумма.

Вычитание — действие, обратное сложению.

• Запись вычитания: 10 – 1 = 9, где 10 — уменьшаемое, 1 — вычитаемое, 9 — разность.

Если разность 9, сложить с вычитаемым 1, то получится уменьшаемое 10. Операция сложения 9 + 1 = 10 является контрольной проверкой вычитания 10 – 1 = 9.

Умножение — арифметическое действие в виде краткой записи суммы одинаковых слагаемых.

• Запись: 3 * 4 = 12, где 3 — множимое, 4 — множитель, 12 — произведение.
• 3 * 4 = 3 + 3 + 3 + 3

В случае, если множимое и множитель поменять ролями, произведение остается одним и тем же. Например: 5 * 2 = 5 + 5 = 10.

Поэтому и множитель, и множимое называют сомножителями.

Деление — арифметическое действие обратное умножению.

• Запись: 30 : 6 = 5 или 30/6 = 5, где 30 — делимое, 6 — делитель, 5 — частное.

В этом случае произведение делителя 6 и частного 5, в качестве проверки, дает делимое 30.

Если в результате операции деления, частное является не целым числом, то его можно представить в виде дроби.

Возведение степень — операция умножения числа на самого себя несколько раз.

Основание степени — число, которое повторяется сомножителем определённое количество раз.

Показатель степени — число, которое указывает, сколько раз берется одинаковый множитель.

Степенью называется число, которое получается в результате взаимодействия основания и показателя степени.

• Запись: 34 = 81, где 3 — основание степени, 4 — показатель степени, 81 — степень.
• 3^4 = 3 * 3 * 3 * 3

Вторая степень называется квадратом, третья степень — кубом. Первой степенью числа называют само это число.

Извлечение корня — арифметическое действие, обратное возведению в степень.

• Запись: 4√81 = 3, где 81 — подкоренное число, 4 — показатель корня, 3 — корень.
• З^4 = 81 — возведение числа 3 в четвертую степень дает 81 (проверка извлечения корня).
• 2√16 = 4 — корень второй степени называется — квадратным.

При знаке квадратного корня показатель корня принято опускать: √16 = 4.

3√8 = 2 — корень третьей степени называется — кубическим.

Сложение и вычитание, умножение и деление, возведение в степень и извлечение корня попарно представляют обратные друг другу действия. Далее узнаем порядок выполнения арифметических действий.

Что такое умножение? Это умное сложение

При сложении и вычитании, умножении и делении чисел в простых выражениях у детей не возникает трудностей:

• 5 × 3 = 15;
• 86 – 9 = 77;
• 81 : 9 = 9.

В таких вычислениях необходимо только знать правила сложения и вычитания и таблицу умножения.
Когда начинаются более сложные упражнения, примеры состоят из двух и более действий, да еще и со скобками, при решении у детей появляются ошибки. И главная из них – неправильный порядок действий.

Наблюдение за изменением значения выражения от порядка выполнения арифметических действий

В жизни мы постоянно выполняем какие-либо действия: гуляем, учимся, читаем, пишем, считаем, улыбаемся, ссоримся и миримся. Эти действия мы выполняем в разном порядке. Иногда их можно поменять местами, а иногда нет. Например, собираясь утром в школу, можно сначала сделать зарядку, затем заправить постель, а можно наоборот. Но нельзя сначала уйти в школу, а потом надеть одежду.

А в математике обязательно ли выполнять арифметические действия в определенном порядке?

Сравним выражения:
8-3+4 и 8-3+4

Видим, что оба выражения совершенно одинаковы.

Выполним действия в одном выражения слева направо, а в другом справа налево. Числами можно проставить порядок выполнения действий (рис. 1).

Рис. 1. Порядок действий

В первом выражении мы сначала выполним действие вычитания, а затем к результату прибавим число 4.

Во втором выражении сначала найдем значение суммы, а потом из 8 вычтем полученный результат 7.

Видим, что значения выражений получаются разные.

Сделаем вывод: порядок выполнения арифметических действий менять нельзя.

1. Быстрое вычисление 20%

Представим, что границы вновь открыли и первым делом вы отправились в США. А там принято оставлять на чай. Обычно размер чаевых составляет 15-20% от суммы вашего заказа.

По словам Кейт Сноу, автора серии книг The Math Facts That Stick, чтобы быстро вычислить 20% от суммы, вам нужно просто разделить число в чеке на 5.

Например, вы поели на 85 долларов. Разделите 85 на 5, и у вас получится 17 долларов – чаевые, которые вы должны оставить официанту.

Сложение и вычитание

Какие же действия можно произвести с числами? Есть два базовых. Это сложение и вычитание. Все остальные действия построены на этих двух.

Самое простое человеческое действие: взять две кучки камней и смешать их в одну. Это и есть сложение. Для того чтобы получить результат такого действия, можно даже не знать, что такое сложение. Достаточно просто взять кучку камней у Пети и кучку камней у Васи. Сложить все вместе, посчитать все заново. Новый результат последовательного счета камней из новой кучки − это и есть сумма.

Вам будет интересно: Остеоны или система Гаверсова

Точно так же можно не знать, что такое вычитание, просто взять и разделить кучу камней на две части или забрать из кучи какое-то количество камней. Вот и останется в куче то, что называется разностью. Забрать можно только то, что есть в куче. Кредит и прочие экономические термины в данной статье не рассматриваются.

Чтобы не пересчитывать каждый раз камни, ведь бывает, что их много и они тяжелые, придумали математические действия: сложение и вычитание. И для этих действий придумали технику вычислений.

Сумма двух любых цифр тупо заучиваются без всякой техники. 2 плюс 5 равно семь. Посчитать можно на счетных палочках, камнях, рыбьих головах – результат одинаковый. Положить сначала 2 палочки, потом 5, а потом посчитать все вместе. Другого способа нет.

Те, кто поумнее, обычно это кассиры и студенты, заучивают больше, не только сумму двух цифр, но и суммы чисел. Но самое главное, они могут складывать числа в уме, используя разные методики. Это называется навыком устного счета.

Вам будет интересно: Тореро – это. Значение слова

Для сложения чисел, состоящих из десятков, сотен, тысяч и еще больших разрядов, используют специальные техники − сложение столбиком или калькулятор. С калькулятором можно не уметь складывать даже цифры, да и читать дальше не нужно.

Сложение столбиком −­­­­­­ это метод, который позволяет складывать большие (многоразрядные) числа, выучив только результаты сложения цифр. При сложении столбиком последовательно складываются соответствующие десятичные разряды двух чисел (то есть фактически две цифры), если результат сложения двух цифр превышает 10, то учитывается только последний разряд этой суммы – единицы числа, а к сумме следующих разрядов добавляется 1.

Основное свойство произведения

Произведение не изменяется от перемены порядка производителей.

Доказательство. Умножить 7 на 3 значит 7 повторить три раза. Заменив 7 суммою 7 единиц и вложив их в вертикальном порядке, имеем:

Таким образом, при умножении двух чисел мы можем считать множителем любой из двух производителей. На этом основании производители называются сомножителями или просто множителями.

Самый общий прием умножения состоит в сложении равных слагаемых; но, если производители велики, этот прием приводит к длинным вычислениям, поэтому самое вычисление располагают иначе.

Порядок вычисления простых выражений

Есть однозначное правило, которое определяет порядок выполнения действий в выражениях без скобок:

• действия выполняются по порядку слева направо
• сначала выполняется умножение и деление, а затем — сложение и вычитание.

Из этого правила становится яснее, какое действие выполняется первым. Универсального ответа нет, нужно анализировать каждый пример и подбирать ход решения самостоятельно.

Что первое, умножение или деление? — По порядку слева направо.

Сначала умножение или сложение? — Умножаем, потом складываем.

Порядок выполнения действий в математике (слева направо) можно объяснить тем, что в нашей культуре принято вести записи слева направо. А необходимость сначала умножить или разделить объясняется самой сутью этих операций.

Рассмотрим порядок арифметических действий в примерах.

Пример 1. Выполнить вычисление: 11- 2 + 5.

В нашем выражении нет скобок, умножение и деление отсутствуют, поэтому выполняем все действия в указанном порядке. Сначала вычтем два из одиннадцати, затем прибавим к остатку пять и в итоге получим четырнадцать.

Вот запись всего решения: 11- 2 + 5 = 9 + 5 = 14.

Пример 2. В каком порядке выполнить вычисления в выражении: 10 : 2 * 7 : 5?

Чтобы не ошибиться, перечитаем правило для выражений без скобок. У нас есть только умножение и деление — значит сохраняем записанный порядок вычислений и считаем последовательно слева направо.

Сначала выполняем деление десяти на два, результат умножаем на семь и получившееся в число делим на пять.

Запись всего решения выглядит так: 10 : 2 * 7 : 5 = 5 * 7 : 5 = 35 : 5 = 7.

Пока новые знания не стали привычными, чтобы не перепутать последовательность действий при вычислении значения выражения, удобно над знаками арифметический действий расставить цифры, которые соответствуют порядку их выполнения.

Например, в такой последовательности можно решить пример по действиям:

Да какая разница?

Действительно, настолько ли это важно – какое действие в примере выполнить первым, какое вторым?

• Рассмотрим примеры:

Если мы будем выполнять действия по порядку, получим:

1. 10 – 5 = 5;
2. 5 + 2 = 7.

1. 5 + 2 = 7;
2. 10 – 7 = 3.

Получили два разных ответа. Но так быть не должно, следовательно, порядок выполнения действий имеет значение. Тем более, если в выражении имеются скобки:

Пробуем решить двумя способами:

1. 25 – 18 + 2 = 9;
2. 25 – 20 = 5.

Ответы разные, а для того чтобы определить порядок действий, в выражении стоят скобки – они показывают, какое действие нужно выполнить первым. Значит, правильным будет такое решение:

1. 18 + 2 = 20;
2. 25 – 20 = 5.

Другого решения у ответа у примера быть не должно.

Умножение однозначных чисел. Таблица Пифагора

Чтобы умножить два однозначных числа, нужно повторить одно число слагаемым столько раз, сколько в другом содержится единиц, и найти их сумму. Так как умножение целых чисел приводится к умножению однозначных чисел, то составляют таблицу произведений всех однозначных чисел попарно. Такая таблица всех произведений однозначных чисел попарно называется таблицей умножения.

Таблица Пифагора. Изобретение ее приписывают греческому философу Пифагору, по имени которого ее называют таблицей Пифагора. (Пифагор родился около 569 года до н. э.).

Чтобы составить эту таблицу, нужно написать первые 9 чисел в горизонтальный ряд:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Затем под этой строкой надо подписать ряд чисел, выражающих произведение этих чисел на 2. Этот ряд чисел получится, когда в первой строке сложим каждое число само с собою. От второй строки чисел последовательно переходим к 3, 4 и т. д. Каждая последующая строка получается из предыдущей через прибавление к ней чисел первой строки.

Продолжая так поступать до 9 строки, мы получим таблицу Пифагора в следующем виде

Чтобы по этой таблице найти произведение двух однозначных чисел, нужно отыскать одного производителя в первой горизонтальной строке, а другого в первом вертикальном столбце; тогда искомое произведение будет на пересечении соответствующих столбца и строки. Таким образом, произведение 6 × 7 = 42 находится на пересечении 6-й строки и 7-го столбца. Произведение нуля на число и числа на нуль всегда дает нуль.

Так как произведение числа на 1 дает само число и перемена порядка множителей не изменяет произведения, то все различные произведения двух однозначных чисел, на которые следует обратить внимание, заключаются в следующей таблице:

Произведения однозначных чисел, не содержащиеся в этой таблице, получаются по данным, если только изменить в них порядок множителе; таким образом, 9 × 4 = 4 × 9 = 36.

Действия первой и второй ступени

В некоторых учебниках по математике можно встретить разделение арифметических действий на действия первой и второй ступени.

• Действиями первой ступени называют сложение и вычитание, а умножение и деление — действиями второй ступени.

С этими терминами правило определения порядка выполнения действий звучит так:

Если выражение не содержит скобок, то по порядку слева направо сначала выполняются действия второй ступени (умножение и деление), затем — действия первой ступени (сложение и вычитание).

Что сначала – умножение или сложение?

Любое математическое выражение – это фактически запись учетчика «с полей» о результатах каких-либо действий. Допустим, сбора урожая помидоров:

• 5 взрослых работников собрали по 500 помидоров каждый и выполнили норму.
• 2 школьников не ходили на уроки математики и помогали взрослым: собрали по 50 помидоров, норму не выполнили, съели 30 помидоров, надкусили и испортили еще 60 помидоров, 70 помидоров было изъято из карманов помощников. Зачем брали с собой их в поле – непонятно.

Все помидоры сдавали учетчику, он укладывал их по кучкам.

Запишем результат «сбора» урожая в виде выражения:

• 500 + 500 + 500 + 500 + 500 – это кучки взрослых работников;
• 50 + 50 – это кучки малолетних работников;
• 70 – изъято из карманов школьников (испорченное и надкусанное в зачет результата не идет).

Получаем пример для школы, запись учетчика результатов работы:

500 + 500 +500 +500 +500 + 50 +50 + 70 =?;

Здесь можно применить группировку: 5 кучек по 500 помидоров − это можно записать через операцию умножения: 5 ∙ 500.

Две кучки по 50 – это тоже можно записать через умножение.

И одна кучка 70 помидоров.

5 ∙ 500 + 2 ∙ 50 + 1 ∙ 70 =?

И что делать в примере сначала − умножение или сложение? Так вот, складывать можно только помидоры. Нельзя сложить 500 помидоров и 2 кучки. Они не складываются. Поэтому сначала нужно всегда все записи привести к базовым операциям сложения, то есть в первую очередь вычислить все операции группировки-умножения. Совсем простыми словами – сначала выполняется умножение, а сложение уже потом. Если умножить 5 кучек по 500 помидоров каждая, то получится 2500 помидоров. А дальше их уже можно складывать с помидорами из других кучек.

2500 + 100 + 70 = 2 670

При изучении ребенком математики нужно донести до него, что это инструмент, используемый в повседневной жизни. Математические выражения являются, по сути (в самом простом варианте начальной школы), складскими записями о количестве товаров, денег (очень легко воспринимается школьниками), других предметов.

Соответственно, любое произведение – это сумма содержимого некоторого количества одинаковых емкостей, ящиков, кучек, содержащих одинаковое количество предметов. И что сначала умножение, а сложение потом, то есть сначала начала вычислить общее количество предметов, а затем уже складывать их между собой.

Порядок выполнения арифметических действий в выражениях со скобками

В каком порядке выполняются арифметические действия, если в выражении имеются скобки?

Если в выражении имеются скобки, то сначала вычисляют значение выражений в скобках.

Мы видим, что в этом выражении имеется действие в скобках, значит, это действие выполним первым, затем по порядку умножение и сложение. Расставим порядок действий.

Вычислим значение выражения.

3. Быстрое удвоение

Чтобы удвоить большое число, умножьте каждую цифру на 2 и сложите их между собой. Кейт Сноу предлагает начинать слева – так будет легче.

«Чтобы удвоить, к примеру, 147, начните с разряда сотен. Если умножить 100 на 2, получится 200. 40 на 2 – 80. 7 на 2 – 14. Теперь сложите числа между собой (200 + 80 + 14), и вы получите 294», – объясняет Сноу.

Порядок вычислений в выражениях со скобками

Иногда выражения могут содержать скобки, которые подсказывают порядок выполнения математических действий. В этом случае правило звучит так:

Сначала выполнить действия в скобках, при этом также по порядку слева направо выполняется умножение и деление, затем — сложение и вычитание.

Выражения в скобках рассматриваются как составные части исходного выражения. В них сохраняется уже известный нам порядок выполнения действий.

Рассмотрим порядок выполнения действий на примерах со скобками.

Пример 1. Вычислить: 10 + (8 – 2 * 3) * (12 – 4) : 2.

Как правильно решить пример:

Выражение содержит скобки, поэтому сначала выполним действия в выражениях, которые заключены в эти скобки.

Начнем с первого 8 – 2 * 3. Что сначала, умножение или вычитание? Мы уже знаем правильный ответ: умножение, затем вычитание. Получается так:

8 – 2 * 3 = 8 – 6 = 2.

Переходим ко второму выражению в скобках 12 – 4. Здесь только одно действие – вычитание, выполняем: 12 – 4 = 8.

Подставляем полученные значения в исходное выражение:

10 + (8 – 2 * 3) * (12 – 4) : 2 = 10 + 2 * 8 : 2.

Порядок действий: умножение, деление, и только потом — сложение. Получится:

10 + 2 * 8 : 2 = 10 + 16 : 2 = 10 + 8 = 18.

На этом все действия выполнены.

Ответ: 10 + (8 – 2 * 3) * (12 – 4) : 2 = 18.

Можно встретить выражения, которые содержат скобки в скобках. Для их решения, нужно последовательно применять правило выполнения действий в выражениях со скобками. Удобнее всего начинать выполнение действий с внутренних скобок и продвигаться к внешним. Покажем на примере.

Пример 2. Выполнить действия в выражении: 9 + (5 + 1 + 4 * (2 + 3)).

Перед нами выражение со скобками. Это значит, что выполнение действий нужно начать с выражения в скобках, то есть, с 5 + 1 + 4 * (2 + 3). Но! Это выражение также содержит скобки, поэтому начнем сначала с действий в них:

Подставим найденное значение: 5 + 1 + 4 * 5. В этом выражении сначала выполняем умножение, затем — сложение:

5 + 1 + 4 * 5 = 5 + 1 + 20 = 26.

Исходное значение, после подстановки примет вид 9 + 26, и остается лишь выполнить сложение: 9 + 26 = 35.

Ответ: 9 + (5 + 1 + 4 * (2 + 3)) = 35.

Математические действия с нулем

Круглый нуль такой хорошенький,
Но не значит ничегошеньки.

В примерах нуль как число не встречается, но он может быть результатом какого-либо промежуточного действия, например:

1. 8 : 2 = 4;
2. 4 – 4 = 0;
3. 5 × 0 = ?

При умножении на 0 правило гласит, что в результате всегда получится 0. Почему? Объяснить можно просто: что такое умножение? Это одно и то же число, сложенное с себе подобным несколько раз. Иначе:

0 × 5 = 0 + 0 + 0 + 0 + 0 = 0;

Деление на 0 бессмысленно, а деление нуля на любое число даст в результате всегда 0:

0 : 5 = 0.

Да и как может быть иначе, когда делить-то нечего? Если у вас нет яблок, поделиться с друзьями вам нечем.

Напомним другие арифметические действия с нулем:

4. Умножение чисел, которые оканчиваются на ноль

Примеры с большими пугающими числами, которые оканчиваются на ноль, тоже легко решить с помощью специального приема. Согласно education.cu-portland.edu, нужно просто «вычеркнуть» нули из примера, а в конце вновь их добавить.

Если вы умножаете 600 на 400, уберите все нули и перемножьте 6 на 4. Получится 24. Затем подсчитайте общее количество нулей в исходном уравнении и припишите их к полученному значению. Так как в нашем примере было четыре нуля, то ответ будет равен 240000.

Деление

Операция деления отдельно не рассматривается, она обратная умножению. Нужно что-то распределить по коробкам, так, чтобы во всех коробках было одинаковое заданное количество предметов. Самый прямой аналог в жизни – это фасовка.

Задания для самостоятельного решения

Задание 1. Найдите значение выражения: 5 + 2 − 2 − 1 Решение

Показать решение Задание 2. Найдите значение выражения: 14 + (6 + 2 × 3) − 6 Решение

Показать решение Задание 3. Найдите значение выражения: 486 : 9 − 288 : 9 Решение

Показать решение Задание 4. Найдите значение выражения: 756 : 3 : 4 × 28 Решение

Показать решение Задание 5. Найдите значение выражения: 807 : 3 − (500 − 58 × 4) Решение

Дополнительные примеры

В данном разделе мы познакомимся с порядком действий, с выражениями со скобками и без них.

1) Если тебе нужно выполнить только сложение и вычитание или только умножение и деление, то все действия выполняют по порядку слева направо.

Например,

В числовом выражении 3 арифметических действия: сложение, вычитание и вычитание.

Определим порядок действий и запишем их над арифметическими знаками: так как нет ни умножения ни деления, действия выполняют по порядку слева направо:

Полностью пример записываем так:

10 + 15 – 6 – 8 = 25 – 6 – 8 = 19 – 8 = 11

Например,

В числовом выражении 3 арифметических действия: деление, умножение и деление.

Определим порядок действий и запишем их над арифметическими знаками: так как нет ни сложения ни вычитания, действия выполняют по порядку слева направо:

Полностью пример записываем так:

15 : 5 • 4 : 6 = 3 • 4 : 6 = 12 : 6 = 2

2) Если тебе нужно выполнить несколько арифметических действий (сложение, вычитание, умножение и деление), то сначала выполняют умножение и деление по порядку слева направо, а затем сложение и вычитание по порядку слева направо.

Например,

В числовом выражении 4 арифметических действия: вычитание, деление, сложение и умножение.

Определим порядок действий и запишем их над арифметическими знаками: сначала производим деление, потом умножение, затем вычитание и сложение.

Полностью пример записываем так:

10 – 15 : 3 + 6 • 8 = 10 – 5 + 6 • 8 = 10 – 5 + 48 = 5 + 48 = 53

3) Если в выражении есть скобки, то сначала выполняют действия в скобках, но обязательно учитывать первое и второе правила.

Например,

В числовом выражении 4 арифметических действия: вычитание, деление, сложение и умножение.

Определим порядок действий и запишем их над арифметическими знаками: сначала производим вычитание в скобках, затем деление, потом умножение и сложение.

Полностью пример записываем так:

(25 – 10) : 3 + 6 • 8 = 15 : 3 + 6 • 8 = 5 + 6 • 8 = 5 + 48 = 53

Например,

В числовом выражении 4 арифметических действия: сложение, деление, сложение и деление.

Определим порядок действий и запишем их над арифметическими знаками: сначала производим действия в скобках (деление, затем сложение), затем деление, потом сложение.

Порядок вычисления в выражениях со степенями, корнями, логарифмами и иными функциями

Если в выражение входят степени, корни, логарифмы, синус, косинус, тангенс и котангенс, а также другие функции — их значения нужно вычислить до выполнения остальных действий. При этом важно учитывать правила из предыдущих пунктов, которые задают очередность действий в математике.

Другими словами, перечисленные функции по степени важности можно приравнивать к выражению в скобках.

И, как всегда, рассмотрим, как это работает на примере.

Пример 1. Вычислить (4 + 1) * 3 + 62 : 3 – 7.

В этом выражении есть степень 62. И нам нужно найти ее значение до выполнения остальных действий. Выполним возведение в степень: 62 = 36.

Подставляем полученное значение в исходное выражение:

(4 + 1) * 3 + 36 : 3 – 7.

Дальше нам уже все знакомо: выполняем действия в скобках, далее по порядку слева направо выполняем сначала умножение, деление, а затем — сложение и вычитание. Ход решения выглядит так:

(4 + 1) * 3 + 36 : 3 – 7 = 3 * 3 + 36 : 3 – 7 = 9 + 12 – 7 = 14.

Ответ: (3 + 1) * 2 + 62 : 3 – 7 = 14.

Закрепить на практике тему «Порядок действий» можно на курсах по математике в Skysmart!

Скобки

Большое значение в решении примеров имеют скобки. Скобки в арифметике – математический знак, используемый для регулирования последовательности вычислений в выражении (примере).

Умножение и деление имеют приоритет выше, чем сложение и вычитание. А скобки имеют приоритет выше, чем умножение и деление.

Все, что записано в скобках, вычисляется в первую очередь. Если скобки вложенные, то сначала вычисляется выражение во внутренних скобках. И это непреложное правило. Как только выражение в скобках вычислено, скобки пропадают, а на их месте возникает число. Варианты раскрытия скобок с неизвестными здесь не рассматриваются. Так делают до тех пор, пока все они не исчезнут из выражения.

(20 : 5 + 2) : 3 = (4 +2) : 3 = 6 : 3 = 2

Итого: трем детям по два пучка конфет (по пучку в руку), по 5 конфет в пучке.

Если вычислить первые скобки в выражении и переписать все заново, пример станет короче. Метод не быстрый, с большим расходом бумаги, зато удивительно эффективный. Заодно тренирует внимательность при переписывании. Пример приводится к виду, когда остается только один вопрос, сначала умножение или сложение без скобок. То есть к такому виду, когда скобок уже и нет. Но ответ на этот вопрос уже есть, и нет смысла обсуждать, что идет сначала – умножение или сложение.

6. Деление на 10, 100 или 1000

Разделить число на 10 проще простого – согласно Сноу, «нужно просто переместить десятичный знак на одну позицию влево от исходного числа, чтобы найти ответ».

Для деления на 100 применим тот же метод, за исключением одного – нужно переместить десятичный разряд на две позиции левее исходного числа. Что касается деления на 1000, просто переместите десятичный знак на три позиции влево.

Например, если вы делите 42,94 на 10, вы просто перемещаете десятичный знак на одну позицию влево и получаете 4,294.

Вычисления с дробями, степенями и сложными функциями

Это сложные случаи вычислений, которые не рассматриваются в рамках начальной школы.

• Действия с дробями

Умножение простых дробей друг на друга не представляется сложными, достаточно лишь перемножить числитель на числитель, а знаменатель – на знаменатель.
Пример:

1. 2 × 3 = 6 — числитель
2. 5 × 8 = 40 — знаменатель

После сокращения получаем:(over>) = (over>).

Деление простых дробей не так сложно, как кажется на первый взгляд. Достаточно лишь преобразовать задачу – превратить ее в пример с умножением. Сделать это просто – нужно перевернуть дробь так, чтобы знаменатель стал числителем, а числитель – знаменателем.
Пример:

1. 2 × 5 = 10;
2. 8 × 3 = 24.

• Действия со степенями

Если в задаче встречается число, представленное в виде степени, его значение вычисляется прежде всех остальных (можете представить, что оно заключено в скобки – а действия в скобках выполняются первыми).
Пример:

1. 5² = 5 х 5 = 25;
2. 25 – 7 = 18;
3. 18 : 3 = 6.

Преобразовав число, представленное в виде степени, в обычное выражение с действием умножения, решить пример оказалось просто: сначала умножение, затем вычитание (потому что в скобках) и деление.

• Действия с корнями, логарифмами, функциями

Поскольку такие функции изучаются только в рамках старшей школы, рассматривать их мы не будем, достаточно только сказать, что они, как и в случае со степенями, имеют приоритет при вычислении: сначала находится значение данного выражения, затем порядок вычислений обычный – скобки, умножение с делением, далее по порядку слева направо.

«Вишенка на торте»

И напоследок. К математическому выражению не применимы правила русского языка – читать и выполнять слева направо:

Это простенький пример может довести до истерики ребенка или испортить вечер его маме. Потому что именной ей придется объяснять второкласснику, что бывают отрицательные числа. Или рушить авторитет «МарьиВановны», которая сказала, что: «Нужно слева направо и по порядку».

Главные правила по теме

Говоря о главных и неглавных математических действиях, нужно сказать, что четыре основных действия можно свести к двум: сложение и умножение. Если вычитание и деление представляется для школьников сложным, правила сложения и умножения они запоминают быстрее. Действительно, выражение 5 – 2 можно записать иначе:

В случаях с умножением действуют правила, схожие со свойствами сложения: от перестановки множителей произведение не изменится:

При решении сложных задач первое действие — то, которое выделено скобками, затем — деление или умножение, потом все остальные действия по порядку.
Когда нужно решить примеры без скобок, вначале выполняется умножение или деление, далее — вычитание либо сложение.

«Совсем вишня»

В Сети гуляет пример, вызывающий затруднения у взрослых дяденек и тетенек. Он не совсем по рассматриваемой теме, что сначала – умножение или сложение. Он вроде как про то, что сначала выполняете действие в скобках.

От перестановки слагаемых сумма не изменяется, от перестановки множителей тоже. Нужно просто записывать выражение так, чтобы не было потом мучительно стыдно.

Степени

Между различными произведениями заслуживают особого внимания такие, в которых производители равны. Так, например:

2 × 2 = 4, 3 × 3 = 9.

Квадраты. Произведение двух равных множителей называется квадратом числа.

В наших примерах 4 есть квадрат 2, 9 есть квадрат 3.

Кубы. Произведение трех равных множителей называется кубом числа.

Так, в примерах 2 × 2 × 2 = 8, 3 × 3 × 3 = 27, число 8 есть куб 2, 27 есть куб 3.

Вообще произведение нескольких равных множителей называется степенью числа. Степени получают свои названия от числа равных множителей.

Произведения двух равных множителей или квадраты называются вторыми степенями.

Произведения трех равных множителей или кубы называются третьими степенями, и т. д.

8. Преобразование периодической десятичной дроби в обыкновенную

Согласно businessinsider.com, нужно выполнить всего 3 шага, чтобы легко превратить бесконечную десятичную дробь в обыкновенную, с числителем и знаменателем.

• Шаг 1. Найдите повторяющиеся цифру или число. Например, у 0,636363 это будет 63.
• Шаг 2. Определите, сколько разрядов в этом числе. В нашем случае у 63 – два разряда.
• Шаг 3. Разделите повторяющееся число на число с таким же количеством разрядов, которое будет состоять из одних девяток – в данном случае 99. Получим 63/99. Теперь сократим ее и получим 7/11 – наш ответ.

9. Умножение на 25

Умножать на 25 не так уж и сложно, если представлять число в виде дроби 100/4. В этом случае все, что вам нужно сделать, это разделить число на 4 и умножить на 100.

Например, вам нужно умножить 84 на 25. Сначала делим 84 на 4 – получаем 21, а потом умножаем значение выражения на 100. Ответ: 2100.

10. Возведение чисел, оканчивающихся на 5, в квадрат

«Этот математический трюк подразумевает 2 шага», – объясняет Сноу. Чтобы возвести в квадрат число, которое оканчивается на пять, возьмите первую цифру числа и умножьте ее на себя. После этого прибавьте к полученному результату первую цифру и припишите к ответу 25. Кружится голова? Разберем на примере.

Если вы умножаете 35 на 35, сначала умножьте 3 на 3 – получится 9, – и прибавьте 3 к ответу – получится 12. Теперь припишите 25 в конец найденного числа, и вы найдете окончательный ответ: 1225.

11. Вычитание путем сложения

Если вам кажется, что сложение немного проще, чем вычитание, этот трюк для вас. Когда вам нужно найти разность двух чисел, достаточно близких друг к другу, попробуйте решить пример с помощью сложения.

«Вместо того чтобы пытаться вычесть 327 из 334, представьте это в виде суммы: мол, сколько нужно добавить к 327, чтобы получить 334?» – объясняет Сноу.